Difernsial

Difernsial

1.   Jika garis singgung di titik (1, 2) pada parabola y = ax² + bx + 4 memiliki persamaan y = -6x + 8, maka nilai a dan b berturut-turut adalah ....

A. 2 dan -4

B. -4 dan 2

C. -2 dan 0

D. 2 dan -10

E. 4 dan -6

2.  
Pembahasan :
Untuk menentukan nilai a dan b, kita dapat menggunakan persamaan garis singgung yang diketahui.
⇒ y = -6x + 8

Sesuai dengan konsep turunan, gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari persamaan garisnya, yang secara matematis dapat ditulis :

Gradien = m = y' =	dy
	dx

3.  
Dengan rumus tersebut, kita peroleh gradien garis singgung sebagai berikut :

⇒ m =	dy
	dx

4. 

⇒ m =	d(-6x + 8)
	dx

5.   ⇒ m = -6
Untuk persamaan garis lurus, gradien akan sama dengan koefisien dari variabel x.

Gradien m = -6 merupakan gradien di titik (1,2) yang sama dengan turunan pertama parabola. Sehingga :

⇒ -6 =	d(ax2 + bx + 4)
	dx

6.   ⇒ -6 = 2ax + b 

Substitusi nilai x = 1 ke persamaan di atas, sehingga :
⇒ -6 = 2ax + b
⇒ -6 = 2a(1) + b
⇒ 2a + b = -6 ....... (1)

Garis singgung y = -6x + 8 menyinggung parabola di titik (1, 2) maka :
⇒ y = ax² + bx + 4
⇒ 2 = a(1)² + b(1) + 4
⇒ 2 = a + b + 4
⇒ a + b = -2
⇒ a = -2 - b ...... (2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) :
⇒ 2a + b = -6
⇒ 2(-2 - b) + b = -6
⇒ -4 - 2b + b = -6
⇒ -b = -6 + 4
⇒ -b = -2
⇒ b = 2

Substitusi nilai b untuk memperoleh nilai a :
⇒ a = -2 - b
⇒ a = -2 - 2
⇒ a = -4
Jadi, nilai a = -4 dan b = 2.

7.   Jawaban : B

8.    

9.   Misalkan f '(x) menyatakan turunan pertama dari fungsi berikut :

y =	x2	, x ≠ 3
	3 - x

10.             Jika f '(2) dan ½ f '(4) adalah suku pertama dan kedua suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tersebut adalah .....

A. 8	D. 32
B. 16	E. 40
C. 24

11.            
Pembahasan :
Untuk bentuk pembagian y = ^u(x)⁄_v(x) , turunan pertamanya dapat ditentukan dengan rumus berikut :

f '(x) =	u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
	v2(x)

12.            
Dari soal, kita misalkan :
⇒ u(x) = x² maka u'(x) = 2x
⇒ v(x) = 3 - x maka v'(x) = -1

Dengan rumus turunan, kita peroleh :

⇒ f '(x) =	u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
	v2(x)

13. 

⇒ f '(x) =	2x (3 - x) - x2.(-1)
	(3 - x)2

14. 

⇒ f '(x) =	6x - 2x2 + x2
	(3 - x)2

15. 

⇒ f '(x) =	6x - x2
	(3 - x)2

16.            
Selanjutnya kita cari nilai f '(2) sebagai berikut :

⇒ f '(2) =	6(2) - (2)2
	(3 - 2)2

17. 

⇒ f '(2) =	12 - 4
	1

18.             ⇒ f '(2) = 8

Dengan cara yang sama kita peroleh f '(4) sebagau berikut :

⇒ f '(4) =	6(4) - (4)2
	(3 - 4)2

19. 

⇒ f '(4) =	24 - 16
	1

20.             ⇒ f '(4) = 8
Dengan begitu nilai dari ½ f '(4) = 4. 

Kita sudah peroleh suku pertama dan suku kedua deret tak hingga yaitu 8 dan 4. Itu berarti deret tersebut memiliki rasio sebesar ½. Dengan demikian, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah : 

⇒ S∞ =	a
	1 - r

21. 

⇒ S∞ =	8
	1 - ½

22. 

⇒ S∞ =	8
	½

⇒ S∞ = 16

Jawaban : B

23.             Diketahui fungsi trigonometri sebagai berikut :

w(α) =	1 - tan2 α
	2 sec2 α

24.             Nilai minimum dari fungsi w(α) adalah .....

A. 0	D. -2
B. -½	E. -∞
C. -1

25.            
Pembahasan :
Berikut rumus & identitas trigonometri yang dapat kita manfaatkan untuk menyelesaikan soal di atas.

tan α =	sin α
	cos α

26. 

sec α =	1
	cos α

27.            
Bentuk fungsi pada soal di atas dapat kita sederhanakan menjadi : 

⇒ w(α) =	1 - tan2 α
	2 sec2 α

28. 

⇒ w(α) =	1 - (sin2 α⁄cos2 α)
	2⁄cos2 α

29. 

⇒ w(α) = (1 −	sin2 α	) x	cos2 α
	cos2 α		2

30. 

⇒ w(α) =	cos2 α	−	sin2 α
	2		2

31. 

⇒ w(α) =	cos2 α − sin2 α
	2

32.             Sekarang ingat bahwa cos² α − sin² α = cos 2α, sehingga :
⇒ w(α) = ½ cos 2α  

Karena fungsi w(α) dalam bentuk cosinus dan nilai minimum dari fungsi cosinus adalah -1, maka nilai minimum dari fungsi w(α) adalah : ½(-1) = -½.Jawaban : B