PERSAMAAN

Persamaan

Teori Biasa

1.      Persamaan Kuadrat

a.       Rumus dasar

1) x₁ + x₂ = -             2) x₁ . x₂ =   3) |x₁ – x₂| =

b.      Rumus-rumus yang berkaitan dengan rumus di atas:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂

x₁² - x₂² = (x₁ – x₂)³ (x₁ + x₂)

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁ x₂ (x₁ + x₂)

x₁³ - x₂³ = (x₁ – x₂)³ + 3x₁ x₂ (x₁ – x₂)

x₂⁴ + x₂⁴ = [(x₁ + x₂) – 2x₁x₂]⁴ – 2 (x₁ + x₂)²

x₁⁴ – x₂⁴  = [(x₁ + x₂) – 2x₁x₂][ (x₁ - x₂). (x₁ + x₂)]

Contoh soal:

1.      UMPTN 91/A/Matematika Dasar No. 60

Jika akar-akar persamaan x² + 2x – 8 = 0 adalah x₂, sedangkan akar-akar persamaan x² + 10x – 16p = o adalah 3x₁ dan 4x₂, maka nilai p =

Cara biasa x2 + 2x – 8       = 0 (x – 2) (x + 4) = 0        x1 = 2  x2   = -4                 3x1   = 6                4x2    = -16 Persamaan yang dimaksud (x – 6) (x + 16) = 0 x2 + 10x – 96 = 0 16p = 96 ® p = 6

Cara cerdik x1 .x2 =  = -8 3x1 4x2   = -16p 12x1x2    = -16p 12 (-8)    = -16p p             = 6

c.       Perbandingan akar

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂ jika x₁  = k x₂, maka mb² = ac (m + 1)²

Contoh soal

2.      SIP ’83 dan PP ‘83

x₁ dan x₂  adalah akar-akar persamaan x² – (p + 3)x + (2p + 2) = 0, jika p bilangan asli dan x₁ = 3 x₂, maka p =

a.  2                       b.  3                 c.  4                 d.  5                 e.  7

jawab D

Cara biasa

x² – (p + 3)x + (2p + 2) = 0 ….(1)

(x = 3.x₂, maka akar-akar dari persamaan kuadrat yang dimaksud

(x – x₂) (x – 3x₂) = 0 …………(2)  dari persamaan (1) dan (2)

4x2 = p + 3 ® x2 = 3x2 = 2p + 2 Û 3 = 2p + 2 3(p + 3)2                = 32p + 32 3p2 + 18p + 27      = 32p + 32 3p2 – 14p – 5         = 0 (3p + 1) (p – 5)      = 0 p = -              p    = 5

Cara cerdik mb2                    = ac (m + 1)2 3 (p + 3)2            = 1 (2p + 2) (3 + 1)2 3 (p2 + 6p + 9)   = 32p + 32 3p2 – 14p – 5     = 0 (3p + 1) (p – 5) = 0 p = -           p   = 5

d.      Cara menyusun persamaan kuadrat baru (PKB)

1)      PKB yang akar-akarnya m kali akar-akar ax² + bx + 0 = 0

Rumus cerdik : ax² + mbx + m² . c = 0

2)      PKB yang akar-akarnya kebalikan akar-akar ax² – bx + c = 0

Rumus cerdik : cx² + bx + a = 0

3)      PKB yang akar-akarnya berlawanan akar-akar ax² + bx + c = 0

Rumus cerdik : ax² – bx + c = 0

4)      PKB yang akar-akarnya x₁² – x₂²  dan ax² + bx + c = 0

Rumus cerdik: a²x² – (b² – 2ac) x + c² = 0

5)      PKB yang akar-akarnya x₁² dan x₂³ dan ax² + bx = c = 0

Rumus cerdik: a²x² – (b² – 2ac)x + c² = 0

6)      PKB yang akar-akarnya x₁ + m dan x₂ + m dan akar-akarnya ax² + bx – c = 0

Rumus cerdik : a(x – m)² + b(x – m) + c = 0

7)      PKB yang akar-akarnya x₁ – m dan x₂ – m dari akar-akar ax² + bx + c = 0

Rumus cerdik : a(x + m)² – b(x + m) + c = 0

8)      PKB yang akar-akarnya  dan  dan ax²  + bx + c = 0

Rumus cerdik : acx² – (b² – 2ac)x + ac = 0

9)      PKB yang akar-akarnya  dan  dan ax² + bx + c = 0

Rumus cerdik : c²x² – (b² – 2ac)x + a² = 0

10)  PKB yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁ dan ax² + bx + c = 0

Rumus cerdik: a² + x (ab – ac)x – b . c = 0

Contoh soal

3.      UMPTN ‘96/Matematika dasar/23

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x² + bx + 10 – 0 adalah …………

a.  x² + 16x + 20 = 0                                 d.  x² + 16x + 120 = 0

b.  x² + 16x + 40 = 0                                 e.  x² + 16x 160 = 0

c.  x² + 16x + 80 = 0

Jawab B

cara cerdik

persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya mx₁ dan mx₂ adalah

ax² + mbx + m²c = 0

jadi, x² + 2.8x + 2² . 10 = 0

        x² + 16x + 40 = 0

4.      UMPTN ‘92/IPA/10

Akar-akar persamaan kuadrat x² + bx + c = 0 dalah x₁ dan x₂, persamaan dengan akar-akarnya x₁ + x₂  dan x₁ x₂ adalah

a.  x² + bcx + b – c = 0                  d.  x² – bcx + b + c = 0

b.  x² – bcx – b + c = 0                  e.  x² + (b – c)x – bc = 0

c.  x² + (b – c)x + bc = 0

jawab : E

cara biasa

x² + bx + c = 0 akar = x₁ dan x₂

persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ + x₂ dan x₁.x₂ adalah

(x – (x + x2) (x – x1 x2) = 0 x1 + x2 =          = -b (x – (-b) (x1 – c)     = 0 (x + b) (x – c)         = 0 x2 + (b – c)x – bc   = 0

Cara cerdik a2x2 + (ab – ac)x – bc = 0 x2 + (b – c)x – bc

5.      UMPTN ‘89/A/76

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah …….

a.  2x² – 3x + 1 = 0                                    d.  2x² + 3x – 1 = 0

b.  3x² – 2x + 1 = 0                                   e.  3x² + 2x + 1 = 0

c.  x² + 2x – 3 = 0

jawab : B

Cara biasa x1 + x2 = 2    x1 . x2 = 3  +  =  =  =  =

Cara cerdik cx2 + bx + a = 0 3x2 – 2x + 1 = 0

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya  dan  adalah

x² - x +  = 0 Û x² - x +  = 0 Û 3x² – 2x + 1 = 0

2.      Nilai-nilai maksimum dan minimum

A.    a + b = c

Jika ab = maksimum, maka a = c

ab² = maksimum, maka a        = c

a²b³ = maksimum, maka a       = c

B.     a – b = c

Jika ab = minimum, maka       = c

ab² = minimum, maka a           = c

a²b³ = minimum, maka a         = c

Contoh soal

1.      UMPTN ‘01/A/B/C/Matematika dasar

Dari akar-akar 2. 3. 5. 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan. Banyaknya bilangan yang dibuat yang lebih kecil daro 400 adalah ….

a.  10                     b.  20               c.  40               d.  80               e.  120

Jawab : C

Cara cerdik

2. 3. 5. 7 dan 9

Ratusan       puluhan      satuan

2 bil           5 bil           4 bil

Banyaknya  = 2 x 5 x 4 = 40

2.      UMPTN ‘89/B/Matematika dasar

Dari dua bilangan positif a dan b jumlahnya 300, hasil kali ab² maksimum bila a sama dengan ….

a.  150                   b.  175             c.  125             d.  100             e.  200        Jawab : D

Cara biasa: a + b = 300 ® b = 300 – a F    = ab2 = a (300 – a)2       = a (90000 – 600a + a2)       = 90000a – 600a2 + a3) F’   = 3a2 – 1200a – 90000 = 0       = a2 – 400a + 30000 = 0       = (a – 300a) (a – 100) = 0    a       = 300 a = 100 F”    = 6a – 1200 a     = 300 Þ  F”= 6 (300) – 1200 = 600 Þ min a     = 100 Þ  F”= 6 (100) – 1200 = -600 Þ min

Cara cerdik a + b = 300 Jika ab2 = maksimum Maka a =  x 100 = 100

3.      UMPTN ‘94/B/78

Diketahui dua bilangan real a dan b dengan a- b = 100, maka nilai minimum ab adalah ……….

a.  -2496    b.  -2397          c.  -2499          d.  -2500          e.  -2550

Jawab : D

a – b = 100 Þ a = b + 100 F       = ab = (b + 100)b          = b2 + 100b F       = 2b + 100 = Þ b = -50 Fmin   = Þ b = -50 F       = (-50)2 + 100 (-50)          = 2500 – 5000          = -2500

Cara cerdik a – b = 100 Jika ab = minimum maka a =  1  0 = 50 dan b = 50 Jadi nilai minimum ab = = -50 . 50 = -2500

4.       =

a.  2                 b.  3                 c.  6                 d.  6 +       e.  a

jawab : B

 =  x (kedua ruas dikuadratkan)

= x2 6 +  = x2 x2 – x – 6 = 0 (x + 2) (x – 3) = 0 x = -2  x = 3 syarat  = b maka a > 0 Jadi  = 3

Cara cerdik  = x Maka x adalah faktor dari a yang selisih satu karena tandanya (+), maka diambil yang besar Jadi  = 3               2            3

5.      =

a.  2                       b.  3                 c.  4                 d.  5     e.  6

jawab : A

cara biasa

 = x (kedua ruas dikuadratkan)

= x2 6 -  = x2                 6 – x   = x2          x2 + x – 6   = 0   (x – 2) (x + 3)   = 0    x = 2       x = -3 syarat =  = b Þ b > 0 jadi  = 2

Cara cerdik  = x Maka x adalah faktor dari a yang selisih satu dank arena tandanya (-), maka diambil yang kecil Jadi  = 2                 2     3

6.      =

a.  5                       b.               c.  5            d.  3            e. 

Jawab B

cara biasa

 = x (kedua ruas dipangkatkan tiga)

= x3 5 . = x3                    5 . x    = x3                x3 – 5x    = 0             x (x2 – 5)   = 0 x = c atau x =  atau x = - x = 0 dn x = -  tidak mungkin, maka  =

Cara cerdik  =   =  =

3.      Persamaan Dalam Putara Jarum Jam

a.       Jarum panjang dan pendek berimpit

Lebihnya = 5n +

b.      Jarum panjang dan pendek membentuk garis lurus

Lebihnya = 5 (n + 6) +

c.       Jarum panjang dan pendek saling tegak lurus

Lebihnya = 5 (n + 3) +  atau 5 (n – 3) +

Contoh soal

1.      SIP ‘88

Antara pukul 09.30 dan 10.00 jarum panjang dan pendek suatu arlogi akan berimpit pada pukul 09.00 lebih ……….

a.  48  menit      c.  49  menit                                    e.  49 menit

b.  49 menit                   d.  49 menit                         Jawab : B

cara biasa

lebihnya = 5 . 9 +  = 49  menit

cara cerdik :

Untuk menentukan jarum panjang dan pendek berimpit AB  dari jawaban di mana B + C = 10 dan itu pada jawaban B:9 + 1 = 10

2.      Prediksi

Antara pukul 10.00 dan 11.00 jarum panjang dan jarum pendek suatu arloji akan membentuk garis lurus pada pukul 10.00 lebih …….

a.  21 menit                   c.  22 menit                         e.  22 menit

b.  21 menit                   d.  22 menit                         Jawab : B

cara biasa

lebihnya = 5 (10 + 6) + , diambil jam 12an = 21

Cara cerdik

Untuk menentukan jarum panjang dan pendek berimpit tegak lurus ataupun sejajar caranya sama dengan nomor 1, jawaban yang jumlah B dan C sama dengan 10 adalah jawaban B, yaitu 1 + 9 = 10

3.      Prediksi

Antara pukul 11.00 dan 12.00 jarum panjang dan pendek suatu arloji saling tegak lurus dengan pukul 11.00 lebih

a.  10  dan 44 menit              d.  10  dan 42 menit      

b.  10  dan 44  menit             e.  10  dan 44 menit

c.  10  dan 44 menit              Jawab : D

cara biasa

Lebihnya = 5(11 + 3) + = 10 Lebihnya = 5(11) – 3) + = 43

Cara cerdik Dengan cara yang sama dan nomor 1 dan nomor 2, maka dengan mudah sekali jawabannya adalah D

4.      Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 4x +a – 4 = 0 (jika a = 3b), maka nilai a yang memenuhi adalah …….

a.  -1                      b.  3                 c.  4                 d.  7                 e.  8

Jawab : D

Cara biasa x2 + 4x + a – 4 = 0 …………(1) x1 = 3b      x2 = b maka persamaan kuadratnya adalah (x - 3b) (x - b) = 0 x2 = 3b + 3 b2 = 0 …………(2) dan persamaan (1) = (2) 4 = -4b ® b = -1 a – 4 = 3b2 a – 4 = 3(-1)2 a – 4 = 3 Û a = 7

Cara cerdik  =  = a – 4 = 3 Þ a = 7