Langsung ke konten utama

Fungsi komposisi dan komposisi fungsi

Fungsi komposisi dan komposisi fungsi

Soal Nomor 1
Diberikan dua buah fungsi masing-masing f(x) dan g(x) berturut-turut adalah:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2 − x
Tentukan:
a) (f o g)(x)
b) (g o f)(x)
Pembahasan
Data:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2 − x

a) (f o g)(x)

"Masukkan g(x) nya ke f(x)" 

sehingga:
(f o g)(x) = f ( g(x) ) 
= f (2 − x) 
= 3(2 − x) + 2 
= 6 − 3x + 2 
= − 3x + 8

b) (g o f)(x)

"Masukkan f (x) nya ke g (x)" 

sehingga:
(g o f)(x) = g ( f (x) ) 
= g ( 3x + 2) 
= 2 − ( 3x + 2)
= 2 − 3x − 2 
= − 3x

Soal Nomor 2
Diberikan dua buah fungsi:
f(x) = 3x2 + 4x + 1
g(x) = 6x

Tentukan:
a) (f o g)(x)
b) (f o g)(2)

Pembahasan
Diketahui:
f(x) = 3x2 + 4x + 1
g(x) = 6x

a) (f o g)(x) 
= 3(6x)2 + 4(6x) + 1
= 108x2 + 24x + 1 
= 18x2 + 24x + 1

b) (f o g)(2)

(f o g)(x) = 108x2 + 24x + 1
(f o g)(2) = 108(2)2 + 24(2) + 1
(f o g)(2) = 432 + 48 + 1 = 481
Soal Nomor 3
Diketahui f(x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka (f o g)(x) = ....
A. 4x2 − 12x + 10
B. 4x2 + 12x + 10
C. 4x2 − 12x − 10
D. 4x2 + 12x − 10
E. − 4x2 + 12x + 10
(Dari soal Ebtanas Tahun 1989)

Pembahasan
f(x) = x2 + 1 
g(x) = 2x − 3
(f o g)(x) =.......?

Masukkan g(x) nya ke f(x)
(f o g)(x) =(2x − 3)2 + 1 
(f o g)(x) = 4x2 − 12x + 9 + 1
(f o g)(x) = 4x2 − 12x + 10

Soal Nomor 4
Diketahui fungsi f(x) = 3x − 1 dan g(x) = 2x2 + 3. Nilai dari komposisi fungsi (g o f)(1) =....
A. 7
B. 9
C. 11
D. 14
E. 17
(Dari soal UN Matematika SMA IPA - 2010 P04)

Pembahasan
Diketahui:
f(x) = 3x − 1 dan g(x) = 2x2 + 3
(g o f)(1) =.......

Masukkan f(x) nya pada g(x) kemudian isi dengan 1
(g o f)(x) = 2(3x − 1)2 + 3
(g o f)(x) = 2(9x2 − 6x + 1) + 3
(g o f)(x) = 18x2 − 12x + 2 + 3
(g o f)(x) = 18x2 − 12x + 5
(g o f)(1) = 18(1)2 − 12(1) + 5 = 11

Soal Nomor 5
Diberikan dua buah fungsi:
f(x) = 2x − 3
g(x) = x2 + 2x + 3

Jika (f o g)(a) = 33, tentukan nilai dari 5a

Pembahasan
Cari (f o g)(x) terlebih dahulu
(f o g)(x) = 2(x2 + 2x + 3) − 3 
(f o g)(x) = 2x2 4x + 6 − 3
(f o g)(x) = 2x2 4x + 3
33 = 2a2 4a + 3
2a2 4a − 30 = 0
a2 + 2a − 15 = 0
Faktorkan:
(a + 5)(a − 3) = 0
a = − 5 atau a = 3
Sehingga
5a = 5(−5) = −25 atau 5a = 5(3) = 15

Bagaimana jika yang diketahui adalah rumus (f o g)(x) atau (g o f)(x) nya kemudian diminta untuk menentukan f(x) atau g(x) nya, seperti contoh berikutnya:

Soal Nomor 6
Diketahui :
(f o g)(x) = − 3x + 8
dengan
f(x) = 3x + 2
Tentukan rumus dari g(x) 

Pembahasan
f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = f (g(x))
− 3x + 8 = 3(g(x)) + 2
− 3x + 8 − 2 = 3 g(x)
− 3x + 6 = 3 g(x)
− x + 2 = g(x)
atau 
g(x) = 2 − x

Tengok lagi contoh nomor 1, dimana f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 2 − x akan menghasilkan (f o g)(x) = − 3x + 8

Soal Nomor 7
Diberikan rumus komposisi dari dua fungsi :
(g o f)(x) = − 3x
dengan 
g(x) = 2 − x
Tentukan rumus fungsi f(x)

Pembahasan
(g o f)(x) = − 3x
(g o f)(x) = g(f(x))
− 3x = 2 − (f(x))
− 3x = 2 − f(x)
f(x) = 2 + 3x
atau
f(x) = 3x + 2

Cocokkan dengan contoh nomor 6.
Soal Nomor 8
Diketahui:
g(x) = x − 2   dan,
(f o g)(x) = 3x − 1

Tentukan rumus f(x)

Pembahasan
Buat permisalan dulu:
x − 2 = a      yang pertama ini nanti untuk ruas kiri  dan, 
x = a + 2     yang kedua ini untuk ruas kanan.

Dari definisi (f o g)(x) 
 

Masukkan permisalan tadi 
 

Soal Nomor 9
Diketahui:
g(x) = x2 + 3x + 2  dan,
(f o g)(x) = 4x2 + 12x + 13

Tentukan rumus f(x)

Pembahasan
Buat dua macam permisalan dulu seperti ini:
 

Dari definisi (f o g)(x) 
 

Masukkan permisalan tadi 
Soal Nomor 10
Diberikan fungsi-fungsi sebagai berikut:
f(x) = 2 + x
g(x) = x2 − 1
h(x) = 2x

Tentukan rumus dari (h o g o f)(x)

Pembahasan
Bisa dengan cara satu-satu dulu, mulai dari g bundaran f
(g o f)(x) = (2 + x)2 − 1
= x2 + 4x + 4 − 1
= x2 + 4x + 3

Masukkan hasilnya ke fungsi h(x) sehingga didapatkan 
(h o g o f)(x) = 2(x2 + 4x + 3)
= 2x2 + 8x + 6

Soal Nomor 11
Diketahui fungsi f(x) = x - 4 dan g(x) = x2 - 3x + 10. Fungsi komposisi (gof)(x) =….
A. x2 - 3x + 14
B. x2 - 3x + 6
C. x2 - 11x + 28
D. x2 -11x + 30
E. x2 -11x + 38 

Pembahasan
Dari soal un matematika tahun 2013, dengan cara yang sama diperoleh 
Soal Nomor 12
Diketahui:
F(x) = 3x + 5
Untuk x = 2 tentukan nilai dari:
F(x + 4) + F(2x) + F(x2)

Pembahasan
x = 2, maka
F(x + 4) = F(2 + 4) = F(6) = 3(6) + 5 = 23
F(2x) = F(2⋅2) = F(4) = 3(4) + 5 = 17
F(x2) = F(22) = F(4) = 3(4) + 5 = 17

Jadi:
F(x + 4) + F(2x) + F(x2) = 23 + 17 + 17 = 57


Fungi komposisi
Contoh soal 1:
 Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x2 + 6x – 7, maka g(x) = …
 Penyelesaian :
(f o g)(x)     = 2x2 + 6x – 7
    f(g(x))     =  2x2 + 6x – 7
 2(g(x)) + 3 = 2x2 + 6x – 7
2 (g(x))       =  2x2 + 6x – 4
jadi      g(x) = x2 + 3x – 2
Contoh soal 2 :

Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x2 – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x2 – 6x – 1
maka f(x) = ….
Penyelesaian :
(f o g)(x)            = 2x2 – 6x – 1
 f (g(x))             = 2x2 – 6x – 1
 f ( x2 – 3x + 1)  = 2x2 – 6x – 1
                           = 2 ( x2 – 3x + 1 ) – 3
Jadi       f (x)      = 2x – 3
Contoh soal 3 :
Jika f(x) = x2 + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….
Penyelesaian :
 g(8) = 8 – 12 = – 4
jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)2 + 3(-4) = 16 – 12 = 4
Contoh soal 4 :
Diketahui (f o g)(x) = x2 + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

Penyelesaian :
(f o g)(x)     = x2 + 3x + 4
f (g(x))        =  x2 + 3x + 4
Untuk    g(x)    = 3              maka
           4x – 5   = 3
                   4x = 8
                    x = 2
Karena  f (g(x))  =  x2 + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2
Sehingga :
f (3) =  22 + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14

  • Invers
Tentukan invers dari :

F(x) = (2x + 2)2 – 5

Cara biasa :

F(x) =  y =  (2x + 2)2 – 5
y + 5 = (2x + 2)2
(y + 5)1/2 = 2x + 2
(y + 5)1/2 – 2 = 2x
[(y +5)1/2 - 2]/2 = x
Jadi F’(x) = [(x + 5)1/2 - 2]/2

Cara Cerdas :

Lihat : (2x + 2)2 –5
pada fungsi tersebut pertama x dikalikan 2 kemudian ditambah 2 laludipangkatkan 2 kemudian dikurang 5
Untuk mendapatkan inversnya sekarang langkahnya di balik / dari belakang dan operasinya tiap langkah diubah dengan menggunakan inversnya
hasilnya : x ditambah 5 kemudian dipangkat 1/2 lalu dikurang 2kemudian dibagi 2
so jawabannya : F’(x) = [(x + 5)1/2 - 2]/2










Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Optimis Bae Lah......

Menjalani kehidupan ini bagaikan air yang mengalir dari hulu hingga akhir, perjalanan itu takkan terhenti sebelum mencapai hulu. Begitupun dengan kehidupan ini tidak akan berakhir sebelum usia menutup mata.  Tidak sedikit mereka yang mengalami kegagalan demi kegagalan maupun mengalami kendala dan hambatan dalam menggapa cita-citanya. Namun itulah realita kehidupan yang harus dihadapi dengan Optimis, tidak mudah putus asa dan terus mencoba dan terus berjuangan menghadapi kegagalan demi kegagalan.  Hidup harus optimis bahwa apa yang dapat kita impikan dapat diraih dengan doa dan perjuangan kita sendiri. Tak ada yang perlu disesali dari sebuah kegagalan, kegagalan adalah sebuah pengalaman dan guru yang berharga untuk meraih kesuksesan dimasa depan.  Tidak kesuksesan tanpa perjuangan, dan tiada perjuangan tanpa meraih sukses, dan tiada semangat hidup tanpa sebuah mimpi yang akan kita raih, dan tiada keyakinan untuk meraih sukses tanpa optimisme. Hidup Harus Optimis, teru...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Mengapa Bilangan yang Dipangkatkan Nol sama dengan 1

Bilangan atau angka yang dipangkatkan dengan 0 akan selalu hasilnya 1, keculi 0 0  yang memang hasilnya 0. Kok bisa seperti itu ya? Ayo kita bahas bersama. Pertama coba diingat dulu dengan sifat dari pembagian bilangan pangkat berikut ini : Bilangan pangkat x n  dibagi x a  maka hasilnya bilangan pokoknya tetap x tetapi bilangan pangkatnya dikurangi dengan pangkat pembaginya. Sehingga nilainya menjadi : X n-a Sekarang kita coba bagi bilangan yang sama dengan pangkat yang sama. Nah, bisa dilihat bahwa x 0  = 1. sumber: http://puteka85.blogspot.com/2012/08/mengapa-bilangan-yang-dipangkatkan-0.html
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Angka Nol dalam kehidupan

Coba Anda bayangkan sebuah angka berapapun nominalnya. Bagilah angka itu dengan angka 0 (nol), maka hasilnya adalah tak terhingga. Sedangkan bila dibagi dengan angka satu, hasilnya akan sama dengan angka semula. Angka nol dan satu ini menggambarkan kehidupan banyak orang di dunia ini. Orang yang hidupnya penuh keikhlasan, penuh rasa syukur, identik dengan angka nol tadi. Sekarang mari kita kembali ke angka 0 dan 1 : Kalikan angka yang dapat Anda bayangkan dengan angka nol, sudah pasti hasilnya adalah nol. Sedangkan bila dikalikan dengan satu : hasilnya sama dengan angka semula. Orang dengan bilangan angka nol dan satu, memiliki perbedaan dalam menghadapi tantangan, hambatan, atau cobaan dalam hidupnya. Orang dengan bilangan angka 0, berapapun besarnya cobaan hidup yang diterimanya, dikalikan nol hasilnya selalu nol. Dia tidak pernah merasakan beban atas cobaan yang menimpanya. Cobaan, tantangan, hambatan, selalu dilihat sebagai kesempatan dan jalan Tuhan untuk mengasah dir...
1 komentar
Baca selengkapnya