Fungsi komposisi dan komposisi fungsi

Fungsi komposisi dan komposisi fungsi

Soal Nomor 1
Diberikan dua buah fungsi masing-masing f(x) dan g(x) berturut-turut adalah:

f(x) = 3x + 2
g(x) = 2 − x

Tentukan:
a) (f o g)(x)
b) (g o f)(x)

Pembahasan
Data:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2 − x

a) (f o g)(x)

"Masukkan g(x) nya ke f(x)" 

sehingga:
(f o g)(x) = f ( g(x) ) 
= f (2 − x) 
= 3(2 − x) + 2 
= 6 − 3x + 2 
= − 3x + 8

b) (g o f)(x)

"Masukkan f (x) nya ke g (x)" 

sehingga:
(g o f)(x) = g ( f (x) ) 
= g ( 3x + 2) 
= 2 − ( 3x + 2)
= 2 − 3x − 2 
= − 3x

Soal Nomor 2
Diberikan dua buah fungsi:
f(x) = 3x² + 4x + 1
g(x) = 6x

Tentukan:
a) (f o g)(x)
b) (f o g)(2)

Pembahasan
Diketahui:
f(x) = 3x² + 4x + 1
g(x) = 6x

a) (f o g)(x) 
= 3(6x)² + 4(6x) + 1
= 108x² + 24x + 1 

= 18x² + 24x + 1

b) (f o g)(2)

(f o g)(x) = 108x² + 24x + 1
(f o g)(2) = 108(2)² + 24(2) + 1
(f o g)(2) = 432 + 48 + 1 = 481

Soal Nomor 3
Diketahui f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka (f o g)(x) = ....
A. 4x² − 12x + 10
B. 4x² + 12x + 10
C. 4x² − 12x − 10
D. 4x² + 12x − 10
E. − 4x² + 12x + 10
(Dari soal Ebtanas Tahun 1989)

Pembahasan
f(x) = x² + 1 
g(x) = 2x − 3
(f o g)(x) =.......?

Masukkan g(x) nya ke f(x)
(f o g)(x) =(2x − 3)² + 1 
(f o g)(x) = 4x² − 12x + 9 + 1
(f o g)(x) = 4x² − 12x + 10

Soal Nomor 4
Diketahui fungsi f(x) = 3x − 1 dan g(x) = 2x² + 3. Nilai dari komposisi fungsi (g o f)(1) =....
A. 7
B. 9
C. 11
D. 14
E. 17
(Dari soal UN Matematika SMA IPA - 2010 P04)

Pembahasan
Diketahui:
f(x) = 3x − 1 dan g(x) = 2x² + 3
(g o f)(1) =.......

Masukkan f(x) nya pada g(x) kemudian isi dengan 1
(g o f)(x) = 2(3x − 1)² + 3
(g o f)(x) = 2(9x² − 6x + 1) + 3
(g o f)(x) = 18x² − 12x + 2 + 3
(g o f)(x) = 18x² − 12x + 5
(g o f)(1) = 18(1)² − 12(1) + 5 = 11

Soal Nomor 5
Diberikan dua buah fungsi:
f(x) = 2x − 3
g(x) = x² + 2x + 3

Jika (f o g)(a) = 33, tentukan nilai dari 5a

Pembahasan
Cari (f o g)(x) terlebih dahulu
(f o g)(x) = 2(x² + 2x + 3) − 3 
(f o g)(x) = 2x² 4x + 6 − 3
(f o g)(x) = 2x² 4x + 3

33 = 2a² 4a + 3
2a² 4a − 30 = 0
a² + 2a − 15 = 0

Faktorkan:
(a + 5)(a − 3) = 0
a = − 5 atau a = 3

Sehingga
5a = 5(−5) = −25 atau 5a = 5(3) = 15

Bagaimana jika yang diketahui adalah rumus (f o g)(x) atau (g o f)(x) nya kemudian diminta untuk menentukan f(x) atau g(x) nya, seperti contoh berikutnya:

Soal Nomor 6
Diketahui :
(f o g)(x) = − 3x + 8
dengan
f(x) = 3x + 2
Tentukan rumus dari g(x) 

Pembahasan
f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = f (g(x))
− 3x + 8 = 3(g(x)) + 2
− 3x + 8 − 2 = 3 g(x)
− 3x + 6 = 3 g(x)
− x + 2 = g(x)
atau 
g(x) = 2 − x

Tengok lagi contoh nomor 1, dimana f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 2 − x akan menghasilkan (f o g)(x) = − 3x + 8

Soal Nomor 7
Diberikan rumus komposisi dari dua fungsi :
(g o f)(x) = − 3x
dengan 
g(x) = 2 − x
Tentukan rumus fungsi f(x)

Pembahasan
(g o f)(x) = − 3x
(g o f)(x) = g(f(x))
− 3x = 2 − (f(x))
− 3x = 2 − f(x)
f(x) = 2 + 3x
atau
f(x) = 3x + 2

Cocokkan dengan contoh nomor 6.

Soal Nomor 8
Diketahui:
g(x) = x − 2   dan,
(f o g)(x) = 3x − 1

Tentukan rumus f(x)

Pembahasan
Buat permisalan dulu:
x − 2 = a      yang pertama ini nanti untuk ruas kiri  dan, 
x = a + 2     yang kedua ini untuk ruas kanan.

Dari definisi (f o g)(x) 
 

Masukkan permisalan tadi 
 

Soal Nomor 9
Diketahui:
g(x) = x² + 3x + 2  dan,
(f o g)(x) = 4x² + 12x + 13

Tentukan rumus f(x)

Pembahasan
Buat dua macam permisalan dulu seperti ini:
 

Dari definisi (f o g)(x) 
 

Masukkan permisalan tadi 

Soal Nomor 10
Diberikan fungsi-fungsi sebagai berikut:
f(x) = 2 + x
g(x) = x² − 1
h(x) = 2x

Tentukan rumus dari (h o g o f)(x)

Pembahasan
Bisa dengan cara satu-satu dulu, mulai dari g bundaran f
(g o f)(x) = (2 + x)² − 1
= x² + 4x + 4 − 1
= x² + 4x + 3

Masukkan hasilnya ke fungsi h(x) sehingga didapatkan 
(h o g o f)(x) = 2(x² + 4x + 3)
= 2x² + 8x + 6

Soal Nomor 11
Diketahui fungsi f(x) = x - 4 dan g(x) = x² - 3x + 10. Fungsi komposisi (gof)(x) =….
A. x² - 3x + 14
B. x² - 3x + 6
C. x² - 11x + 28
D. x² -11x + 30
E. x² -11x + 38 

Pembahasan
Dari soal un matematika tahun 2013, dengan cara yang sama diperoleh 

Soal Nomor 12
Diketahui:
F(x) = 3x + 5

Untuk x = 2 tentukan nilai dari:
F(x + 4) + F(2x) + F(x²)

Pembahasan
x = 2, maka
F(x + 4) = F(2 + 4) = F(6) = 3(6) + 5 = 23
F(2x) = F(2⋅2) = F(4) = 3(4) + 5 = 17
F(x²) = F(2²) = F(4) = 3(4) + 5 = 17

Jadi:
F(x + 4) + F(2x) + F(x²) = 23 + 17 + 17 = 57

Fungi komposisi

Contoh soal 1:

 Jika f(x) = 2x + 3 dan (f o g) = 2x² + 6x – 7, maka g(x) = …

 Penyelesaian :

(f o g)(x)     = 2x² + 6x – 7

    f(g(x))     =  2x² + 6x – 7

 2(g(x)) + 3 = 2x² + 6x – 7

2 (g(x))       =  2x² + 6x – 4

jadi      g(x) = x² + 3x – 2

Contoh soal 2 :

Fungsi g: R → R ditentukan oleh g(x) = x² – 3x + 1 dan f: R → R sehingga (f o g)(x) = 2x² – 6x – 1

maka f(x) = ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)            = 2x² – 6x – 1

 f (g(x))             = 2x² – 6x – 1

 f ( x² – 3x + 1)  = 2x² – 6x – 1

                           = 2 ( x² – 3x + 1 ) – 3

Jadi       f (x)      = 2x – 3

Contoh soal 3 :

Jika f(x) = x² + 3x dan g(x) = x – 12, maka nilai (f o g)(8) adalah ….

Penyelesaian :

 g(8) = 8 – 12 = – 4

jadi (f o g) (8) = f(g(8)) = f(-4) = (-4)² + 3(-4) = 16 – 12 = 4

Contoh soal 4 :

Diketahui (f o g)(x) = x² + 3x + 4 dan g(x) = 4x – 5. Nilai dari f(3) adalah ….

Penyelesaian :

(f o g)(x)     = x² + 3x + 4

f (g(x))        =  x² + 3x + 4

Untuk    g(x)    = 3              maka

           4x – 5   = 3

                   4x = 8

                    x = 2

Karena  f (g(x))  =  x² + 3x + 4   dan  untuk g(x) = 3 didapat x = 2

Sehingga :

f (3) =  2² + 3 . 2 + 4   =   4 + 6 + 4   =   14

• Invers

Tentukan invers dari :

F(x) = (2x + 2)² – 5

Cara biasa :

F(x) =  y =  (2x + 2)² – 5

y + 5 = (2x + 2)²

(y + 5)^1/2 = 2x + 2

(y + 5)^1/2 – 2 = 2x

[(y +5)^1/2 - 2]/2 = x

Jadi F’(x) = [(x + 5)^1/2 - 2]/2

Cara Cerdas :

Lihat : (2x + 2)² –5

pada fungsi tersebut pertama x dikalikan 2 kemudian ditambah 2 laludipangkatkan 2 kemudian dikurang 5

Untuk mendapatkan inversnya sekarang langkahnya di balik / dari belakang dan operasinya tiap langkah diubah dengan menggunakan inversnya

hasilnya : x ditambah 5 kemudian dipangkat 1/2 lalu dikurang 2kemudian dibagi 2

so jawabannya : F’(x) = [(x + 5)^1/2 - 2]/2